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Title :有理関数空間の完備化の位相幾何
Title alternative :Topology of completions of the space of rational functions
Authors :神山, 靖彦
志賀, 博雄
手塚, 康誠
Authors alternative :Kamiyama, Yasuhiko
Shiga, Hiroo
Tezuka, Michishige
Issue Date :Mar-2003
Abstract :平成13年度~平成14年度科学研究費補助金(基盤研究(C)(2))研究成果報告書
Instantonsのmoduli空間にはそれを開集合として含むUhlenbeck completionがあり,gauge理論において1つの中心的研究手段である.本研究の目的はS^2から複素多様体Vへの有理関数空間に同様の完備化を定義し,その位相幾何を調べることである. まず典型的な場合であるV=CP^nのときを考える.Rat_k(CP^n)でS^2からCP^nへの基点を保つdegree kの正則写像空間を表す.i_k : Rat_k(CP^n)→Ω^2_kCP^n【similar or equal】Ω^2S^<2n+1>を包含写像とする.Segalによりi_κはκ(2n-1)次元までホモトピー同値であり,更に Rat_k(CP^n)の安定ホモトピー型は報告者及びそれとは独立にCohen-Cohen-Mann-Milgramにより,Ω^2S^<2n+1>のstable summandsを用いて記述されていた. Rat_k(CP^n)は共通根を持たない monicな複素k次多項式の(n+1)組を表示されるがこれを一般化してX^l_k(CP^n)を高々l個の共通根を持つmonicな複素k次多項式の (n+1)組とする.X^0_k(CP^n)=Rat_k(CP^n)であり,X^k_k(CP^n)=C^<k(n+1)>である.本研究では後者が前者のUhlenbeck完備化であることを証明した.つまりX^l_k(CP^n)はRat_k(CP^n)がその完備化に移行していく空間なのである.更にX^l_k(CP^n)の安定ホモトピー型を決定することに成功した. 次にCP_nをloop群ΩGに一般化したときの有理関数空間(これは正にinstantonsのmoduli空間である)の完備化を研究した.研究過程で次のことも分かった.SU(2)のGにおける中心化群を 0とおきJ : G/C→Ω^3_0GをJ(gC)(x)=gxg^<-1>x^<-1>とおく.このときJ_*:H_*(G/C ; Z/2)→H_*(Ω^3_0G ; Z/2)は単射である.この結果はBottによるΩGのgenerating mapsに関する定理の一般化でありこれ自身大変興味あるものである.
For instanton moduli spaces we have the Uhlenbeck completion, which is useful in the field of gauge theory. The purpose of this study is to define a similar completion for spaces of rational functions from S^2 to a complex manifold V. First we study the typical case V = CP^n. Let Rat_k(CP^n) be the space of based holomorphic maps of degree k from S^2 to CP^n. Let i_k : Rat_k(CP^n) → Ω^2_kCP^n 【similar or equal】 Ω^2S^<2n+1> be the inclusion. Segal showed that i_k is a homotopy equivalence up to dimension k(2n - 1). Later I and independently Cohen-Cohen-Mann-Milgram described the stable homotopy type of Rat_k(CP^n) in terms of stable summands of Ω^2S^<2n+1>. Note that Rat_k(CP^n) consists of (n + 1)-tuples of monic degree k complex polynomials without common roots. Generalizing this, we define a space X^l_k(CP^n) by the set of (n + 1)-tuples of monic degree k complex polynomials with at most l roots in common. We have X^0_k(CP^n) = Rat_k(CP^n) and X^k_k(CP^n) = C^<k(n+1)>. In this study I proved that the latter is the Uhlenbeck completion of the former. This implies that X^l_k(CP^n) is a space which appears when we shift from Rat_k(CP^n) to its completion. Moreover, I succeeded in determining the stable homotopy type of X^l_k(CP^n). Next I change CP^n to a loop group ΩG. In this case the space of rational functions from S^2 to ΩG is exactly the instanton moduli space. I studied its completion. In the process of the study, I was able to prove the following theorem: Let C be the centralizer of SU(2) in G and let J : G/C → Ω^3_0 be the map defined by J(gC)(x) = gxg^<-1>x^<-1>. Then J_* : H_*(G/C; Z/2) → H_*(Ω^3_0G; Z/2) is injective. Note that this result is a generalization of the Bott's theorem about generating maps of ΩG, and very interesting in itself.
Type Local :研究報告書
Publisher :神山靖彦
URI :http://hdl.handle.net/20.500.12000/9227
Appears in Collections:Research Report (Faculty of Science)

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