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Title :対合同変正則写像空間の位相幾何
Title alternative :Topology of spaces of conjugation-equivariant holomorphic maps
Authors :神山, 靖彦
志賀, 博雄
手塚, 康誠
Authors alternative :Kamiyama, Yasuhiko
Shiga, Hiroo
Tezuka, Michishige
Issue Date :Mar-2006
Abstract :平成15年度~平成17年度科学研究費補助金(基盤研究(C))成果報告書
(研究概要)Rat_k(CP^n)でS^2からCP^nへの基点を保つ正則写像空間を表す.Rat_k(CP^n)の安定ホモトピー型は,対応する連続写像空間 Ω^2S^<2n+1>のSnaith stable summandsで記述できるという定理は,報告者及びCohen-Cohen-Mann-Milgramにより証明されていた.本研究の目的は,この定理を次の2方面で一般化することである. (i)Rat_k(CP^n)の上には,複素共役による対合が作用する.この対合と可換な正則写像全体を RRat_k(CP^n)で表す.このRRat_k(CP^n)のホモトピー型は,n=1のときにはBrockett及びSegalにより決定されていた.しかし,n【greater than or equal】2にときには未解決であった.本研究の第一の成果はRRat_k(CP^n)の安定ホモトピー型を完全に決定したことである.この際,対応する対合同変連続空間は,ΩS^n×Ω^2S^<2n+1>である. (ii)P^l_<k,n>で,多項式 f(z)=z^k+a_1z^<k-1>+【triple pond】+a_kで,n重根が高々l個であるものの空間を表す.Arnoldは,1970年にP^l_<k,n>のホモロジーを数学的帰納法により決定しようとしたが,未解決な部分が多かった.本研究の第二の成果は,P^l_<k,n>の安定ホモトピー型を完全に決定し,そこからホモロジーも読み取れることを示したことである.従って,Arnoldの問題は完全に解決されたことになる.この際,使用するstable summandsは,Rat_k(CP^<n-1>)のある一般化のstable summandsである.この一般化は,k次多項式のn組で,共通根が高々l個というもののなす空間である.つまり,単独の多項式のなす空間と,多項式の n組のなす空間との間の関係を解明したわけである. なお,(ii)の研究実績は高く評価されている.一例として,研究代表者は,2005年7月に東大で開催されたCOE国際会議で主要講演を行った.
Let Rat_k(CP^n) be the space of basepoint-preserving holomorphic maps fromS^2 to CP^n. This is a subspace of Ω^2_kCP^n. A theorem by me and Cohen-Cohen-Mann-Milgram tells that the stable homotopy type of Rat_k(CP^n) is described in terms of stable summands of Ω^2S^<2n+1>. The purpose of this research is to generalize the theorem in two directions. (i)Let RRat_k(CP^n) be the subspace of Rat_k(CP^n) of maps which commute with an involution by complex conjugation. Brockett and Segal determined the homotopy type of RRat_k(CP^1). But the case n【greater than or equal】2 was unknown. The first achievement of this research is to determine the stable homotopy type of RRat_k(CP^n) completely. In this case, the corresponding continuous mapping space is ΩS^n×Ω^2S^<2n+1>. (ii)Let P_<k,n> be the space of polynomials such that the number of n-fold roots is at most l. In 1970, Arnold tried to determine the homology group of P^l_<k,n>, but most part was left unknown. The second achievement of research is to determine the stable homotopy type of P^l_<k,n> completely, and to show that the homology groups of P^l_<k,n> are determined from this. As a result, I solved Arnold's problem completely. Roughly, the main result is to prove a relationship between a space of single polynomials and a space of n-tuples of polynomials. The achievement in (ii) was highly evaluated. For example, I gave a plenary talk at the COE International Conference held at the University of Tokyo in July 2005.
(p.154-)Configuration spaces and rational functions / Yasuhiko Kamiyama
Type Local :研究報告書
Publisher :神山靖彦
URI :http://hdl.handle.net/20.500.12000/9229
Appears in Collections:Research Report (Faculty of Science)

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