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Title :有限点集合の距離と配置の研究
Title alternative :Study on the distances and arrangement of finite-point-set
Authors :前原, 濶
Authors alternative :Maehara, Hiroshi
Issue Date :May-2005
Abstract :科学研究費補助金(基盤研究(C)(2))研究成果報告書
研究概要 : 1.可算個の頂点を持つ完全グラフから1辺を除いたグラフはどんな次元でも整数距離グラフとならないが、平面上の有理数距離グラフとなる。また、K_nが平面上の整数距離グラフとして、どの3頂点も同一直線上になく、どの4頂点も同一円周上にないように実現できるなら、完全n部グラフ K(a_1,a_2,...,a_n)は平面上の有理数距離グラフとなる。ここで、a_k=(k-1 choose 2)+(k-1 choose 3)+1である。2.平面上の点集合の場合、1-ノルムと∞-ノルム(maxノルム)については、それらの点を結ぶ最小スターの中心が容易に求められる。また、n(n≠4,>2)とk>1についてp-ノルム(p=1,2,...,k)での最小スターの中心がすべて異なるような平面上の n点集合が存在する。ところが4点集合についてはどんなノルムについても、同じ点が最小スターの中心となる。(倉敷芸術科学大学の渡辺守氏との共同研究)3. ユークリッド空間内のm+2個以上の点の集合Xに対して、Xの(m+1)-点集合に、その凸包のm次元体積を対応させる写像μは、汎距離(hemi- metric)で、m次元の単体不等式を満たす。各mについて、この不等式の余裕の限界値(super-bound)s(m)が定義でき、その値は点集合 Xの形状にある程度関係がある。実際、|X|≧5のとき、同値な関係"s(1)=2⇔s(2)=3⇔[Xは正則単体の頂点集合]"が成立する。3次元の正多面体の頂点集合についてはs(m)の値を計算した。n次元の十字多面体の場合、n≧m≧3なら常にs(m)=3で、n次元立方体の場合はm>0のとき、s(m)→1(n→∞)となる。(M.Deza, M.Dutourとの共同研究)
1.Let G be the graph obtained from a complete graph with countably many vertices by removing an edge. Then G is not an integral-distance graph in any dimension, but it is a rational distance graph in the plane. If a complete graph with n vertices can be realized as an integral distance graph in the plane in such a way that no three vertices lie on a line, and no four vertices lie on a circle, then the complete n-partite graph K(a_1,a_2,【triple bond】,a_n) is a rational distance graph in the plane, where a_k=(k-1 choose 2)+(k-1 choose 3)+1.2.For any n>4, and any k>1, there is an n-point-set such that the center of the minimal star of the n-point-set in p-norm (p=1,2,【triple bond】,k) are all distinct. But for any 4-point-set the center of the minimal star are the same point for any norm. (Joint work with M.Watanabe).3.Let X be a point-set with at least m+2 points. The map from the family of m+1 point-set of X to the nonnegative reals that assigns to each (m+1)-point-set, the m-dimensional volume of the convex hull of the (m+1)-point-set, is a hemimetric and satisfies the m-dimensional simplex inequality. For each m, we can define the "bound" s(m) of m-dimensional simplex inequality. This bound s(m) determines the "configuration" X to some extent. For example, if |X|>4, then the three statements s(2)=2,s(3)=3, and [X is the vertex-set of a regular simplex] are equivalent. We calculated s(m) for regular polyhedra in 3-space. Though s(m)=3 for the n-dimensional cross-polytope, n>m-1>1, the value s(m) for n-cube tends to 1 as n tends to infinity. (Joint work with M.Deza and M.Dutour).
Type Local :研究報告書
Publisher :前原濶
URI :http://hdl.handle.net/20.500.12000/9310
Appears in Collections:Research Report (Faculty of Education)

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